Вопрос школьника
Если имеющиеся карандаши разложить в коробки, по 8 штук в каждую, то останется 5 лишних карандашей. Если их разложить в коробки, по 6 штук в каждую, то тоже останется 5 лишних карандашей. Сколько имеется карандашей, если их больше 50, но меньше 100?
Ответ от учителя
Пусть имеется x карандашей. Тогда по условию задачи:
x ≡ 5 (mod 8) — остаток от деления x на 8 равен 5
x ≡ 5 (mod 6) — остаток от деления x на 6 равен 5
Для решения этой системы сравнений воспользуемся китайской теоремой об остатках. Для этого найдем решение каждого из двух уравнений по отдельности.
Решение первого уравнения:
x ≡ 5 (mod 8)
x = 8k + 5, где k — целое число
Решение второго уравнения:
x ≡ 5 (mod 6)
x = 6m + 5, где m — целое число
Теперь объединим эти два уравнения в одно:
8k + 5 = 6m + 5
8k = 6m
4k = 3m
Так как 4 и 3 взаимно просты, то можно сделать вывод, что k и m делятся на 3 и 4 соответственно:
k = 3n
m = 4p
Тогда получаем:
x = 8k + 5 = 24n + 5
x = 6m + 5 = 24p + 5
Таким образом, имеется x = 24n + 5 = 24p + 5 карандашей. Вычитая из этого уравнения 5, получаем:
x — 5 = 24n = 24p
Так как 24 и 5 взаимно просты, то можно сделать вывод, что x — 5 делится на 24. Поэтому искомое число карандашей имеет вид:
x = 24k + 5, где k — целое число
Также из условия задачи следует, что 50 < x < 100. Подставляя в полученное уравнение значения 50 и 100, получаем: 50 = 24k + 5 45 = 24k k = 1.875 100 = 24k + 5 95 = 24k k = 3.958 Таким образом, решением задачи является число карандашей x = 24k + 5, где k принимает значения от 2 до 3. Поэтому имеется от 53 до 77 карандашей.
