Вопрос школьника
Из вершин А и В острых углов прямоугольного треугольника АВС восставлены перпендикуляры АА1 и ВВ1 к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины С до середины отрезка А1В1, если А1С=4 м, А1А=3 м, В1С = 6 м, В1В = 2 м и отрезок А1В1 не пересек
Ответ от учителя
ает сторону СВ.
Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника АВС:
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
Так как перпендикуляры АА1 и ВВ1 восставлены к плоскости треугольника, то они лежат в этой плоскости и пересекаются в точке М, являющейся серединой отрезка А1В1. Также заметим, что треугольники АА1С и ВВ1С подобны треугольнику АВС, так как углы АА1С и ВВ1С являются прямыми, а угол АВС также прямой. Из подобия треугольников получаем:
$frac{AA1}{AB} = frac{AC}{BC}$
$frac{VV1}{AB} = frac{BC}{AC}$
Отсюда следует:
$AB = sqrt{AC cdot BC}$
$AA1 = frac{AC^2}{AB}$
$VV1 = frac{BC^2}{AB}$
Теперь рассмотрим треугольник А1МВ1. Из теоремы Пифагора для этого треугольника получаем:
$A1V1^2 = A1M^2 + MV1^2$
$A1M = frac{A1V1^2 — MV1^2}{2 cdot A1V1}$
$MV1 = frac{sqrt{4 cdot A1V1^2 — (A1V1^2 + BV1^2 — AB^2)^2}}{2 cdot A1V1}$
Заметим, что $A1V1 = sqrt{AA1^2 + AV^2} = sqrt{frac{AC^4 + BC^4}{AB^2}}$ и $BV1 = sqrt{VV1^2 + BV^2} = sqrt{frac{AC^2 cdot BC^2}{AB^2}}$. Подставляя эти выражения в формулы для A1M и MV1, получаем:
$A1M = frac{AC^2 — BC^2}{2 cdot AB}$
$MV1 = frac{sqrt{AC^4 + BC^4 — 2 cdot AC^2 cdot BC^2}}{2 cdot AB}$
Теперь можем найти расстояние от вершины С до середины отрезка А1В1:
$CM = sqrt{AC^2 — A1C^2} = sqrt{AC^2 — 16}$
$BM = sqrt{BC^2 — B1C^2} = sqrt{BC^2 — 36}$
$AM = AB — BM — A1M = sqrt{AC cdot BC} — sqrt{BC^2 — 36} — frac{AC^2 — BC^2}{2 cdot AB}$
$VM = AB — AM — MV1 = sqrt{AC cdot BC} — sqrt{AC^2 — 16} — frac{sqrt{AC^4 + BC^4 — 2 cdot AC^2 cdot BC^2}}{2 cdot AB}$
Ответ: расстояние от вершины С до середины отрезка А1В1 равно VM.
