Вопрос школьника
В остроугольном треугольнике АВС высоты СС1 и ВВ1 пересекаются в точке Н. Докажите что: а)СН*СН=ВН*В1Н1 6)АВ1*СВ1=ВВ1*НВ1 в)АВ*АС1=АС*АВ1 г)АС1*ВС1= СС1*НС
д) ортоцентр делит высоты на части, произведение которых постоянно для данного треугольника.
Ответ от учителя
а) Рассмотрим треугольники СНС1 и ВН1Н. Они подобны, так как угол СНС1 равен углу ВН1Н (они оба прямые), угол С1СН равен углу НВ1Н (они оба прямые), а угол С1НС равен углу Н1НВ (они оба прямые). Таким образом, мы получаем, что СН/ВН1=С1Н/Н1Н, откуда СН*СН1=ВН*В1Н1.
б) Рассмотрим треугольники АВ1Н и СВ1Н1. Они подобны, так как угол АВ1Н равен углу СВ1Н1 (они оба прямые), угол В1АН равен углу В1Н1С (они оба прямые), а угол НВ1А равен углу Н1СВ1 (они оба прямые). Таким образом, мы получаем, что АВ1/СВ1=В1Н/Н1Н, откуда АВ1*СВ1=В1Н*Н1С.
в) Рассмотрим треугольники АВ1С1 и АСВ1. Они подобны, так как угол АВ1С1 равен углу АСВ1 (они оба прямые), угол В1АС1 равен углу СВ1А (они оба прямые), а угол С1В1А равен углу В1СА (они оба прямые). Таким образом, мы получаем, что АВ1/АС=С1В1/В1С, откуда АВ*АС1=АС*АВ1.
г) Рассмотрим треугольники СС1Н и ВВ1Н1. Они подобны, так как угол СС1Н равен углу ВВ1Н1 (они оба прямые), угол СНС1 равен углу Н1В1В (они оба прямые), а угол НСС1 равен углу Н1ВВ1 (они оба прямые). Таким образом, мы получаем, что СС1/ВВ1=НС/Н1В1, откуда СС1*НС=ВВ1*Н1В.
д) Ортоцентр – это точка пересечения высот треугольника. Пусть высоты пересекаются в точке H. Тогда мы можем записать, что AH*HD=BH*HE=CH*HF, где HD, HE и HF – отрезки высот, соответствующие вершинам A, B и C соответственно. Это можно доказать, используя подобные треугольники и теорему о высоте. Таким образом, произведение отрезков высот постоянно для данного треугольника.
