Вопрос школьника
В окружность вписаны правильные треугольник и четырехугольник. Периметр треугольника равен 12√6 см. Найдите периметр четырехугольника.
Ответ от учителя
Пусть сторона правильного треугольника равна a. Тогда радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен r = a/(2√3) (это можно вывести, используя формулу для радиуса вписанной окружности в треугольник). Периметр треугольника равен 3a, поэтому a = 4√2 см.
Теперь рассмотрим четырехугольник, вписанный в ту же окружность. Пусть его стороны равны b, c, d и e (в порядке обхода). Тогда по свойству вписанных углов углы BAD и BCD равны между собой, а углы ABD и CBD также равны между собой. Значит, треугольники ABD и CBD равны между собой (по двум сторонам и углу между ними), а значит, их боковые стороны равны: AB = BC = b, AD = CD = e.
Таким образом, четырехугольник ABCD можно разбить на два равных треугольника ABD и BCD, каждый из которых имеет периметр b + e + a. Значит, периметр всего четырехугольника равен 2(b + e + a) = 2(b + c + d + e) (так как b = c и d = e).
Осталось найти b, c и d. Заметим, что треугольник ABD является прямоугольным (угол ABD равен половине угла BAD, который равен 60 градусам), поэтому по теореме Пифагора имеем:
b^2 + e^2 = (2r)^2 = 4a^2/3
b + e = 2r√2 = 2a/√3
Вычитая из второго уравнения первое, получаем:
2be = 2a^2/3 — 2b^2/3 — 2e^2/3 = 2a^2/3 — 2(b^2 + e^2)/3 = 2a^2/3 — 8a^2/9 = 2a^2/9
Отсюда следует, что b + e = a/√2, а значит, b = c = d = e = a/(2√2) = 2√3 см.
Итак, периметр четырехугольника ABCD равен 2(b + c + d + e) = 8a/√2 = 24√2 см.
