Вопрос школьника
а) Найдите наибольший объём правильной треугольной пирамиды, апофема которой равна 2√3.
б) Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна 2√3, а высота может принимать любые значения, принадлежащие промежутку [1; 3]. Найдите наибольший объём пирамиды.
Ответ от учителя
а) Правильная треугольная пирамида имеет основание в виде равностороннего треугольника, а высота, опущенная на основание, делит его на два равных прямоугольных треугольника. Апофема же является высотой боковой грани, которая также является высотой прямоугольного треугольника. Поэтому, если обозначить сторону основания треугольной пирамиды через a, то высота равна a/2, а апофема равна 2√3.
Чтобы найти объем пирамиды, нужно умножить площадь основания на высоту и разделить полученный результат на 3. Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле S = (a^2√3)/4. Таким образом, объем пирамиды равен V = (a^2√3)/4 * a/2 * 1/3 = a^3√3/12.
Чтобы найти наибольший объем пирамиды, нужно найти наибольшее значение стороны основания a. Так как апофема равна 2√3, то по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике с катетами a/2 и апофемой гипотенуза равна a. Таким образом, a^2 = (a/2)^2 + (2√3)^2 = a^2/4 + 12, откуда a^2 = 16√3 и a = 4√(3/2). Подставляя это значение в формулу для объема, получаем V = (4√(3/2))^3√3/12 = 16√3/3.
б) Правильная четырехугольная пирамида имеет основание в виде квадрата, а высота, опущенная на основание, делит его на два равных прямоугольных треугольника. Апофема же является высотой боковой грани, которая также является высотой прямоугольного треугольника. Поэтому, если обозначить сторону основания квадратной пирамиды через a, то высота равна a/2, а апофема равна 2√3.
Объем пирамиды можно найти по формуле V = (S*h)/3, где S — площадь основания, а h — высота. Площадь квадрата равна S = a^2, а высота может принимать любые значения от 1 до 3. Таким образом, чтобы найти наибольший объем пирамиды, нужно найти наибольшее значение высоты.
Так как апофема равна 2√3, то по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике с катетами a/2 и апофемой гипотенуза равна a. Таким образом, a^2 = (a/2)^2 + (2√3)^2 = a^2/4 + 12, откуда a^2 = 16√3 и a = 4√(3/2).
Высота h может принимать любые значения от 1 до 3, поэтому нужно найти наибольший объем пирамиды при h = 3. Тогда V = (a^2*h)/3 = (16√3*9)/3 = 48√3.
Таким образом, наибольший объем пирамиды равен 48√3 и достигается при высоте h = 3.
