Вопрос школьника
В каждом из 700 независимых испытаний на брак, появление стандартной лампочки происходит с постоянной вероятностью p=0,65. Найти вероятность того, что при таких условиях, появление бракованной лампочки произойдет чаще, чем в 230 испытаниях, но реже, чем в 270 случаях.
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо воспользоваться биномиальным распределением. Вероятность появления стандартной лампочки в каждом испытании равна p=0,65, а вероятность появления бракованной лампочки q=1-p=0,35.
Пусть X — количество бракованных лампочек в 700 испытаниях. Тогда X имеет биномиальное распределение с параметрами n=700 и p=0,35.
Найдем вероятность того, что появление бракованной лампочки произойдет чаще, чем в 230 испытаниях, но реже, чем в 270 случаях. Для этого необходимо найти вероятность события A: 230 < X < 270. P(A) = P(X > 230) — P(X > 270)
Для нахождения этих вероятностей воспользуемся нормальным распределением с параметрами μ = np = 700*0,35 = 245 и σ^2 = npq = 700*0,35*0,65 = 160.75. Так как n достаточно большое, то можно использовать нормальное распределение вместо биномиального.
Z1 = (230 — 245) / sqrt(160.75) = -2.12
Z2 = (270 — 245) / sqrt(160.75) = 2.12
P(A) = P(Z > -2.12) — P(Z > 2.12) ≈ 0.982 — 0.017 ≈ 0.965
Таким образом, вероятность того, что появление бракованной лампочки произойдет чаще, чем в 230 испытаниях, но реже, чем в 270 случаях, составляет около 0.965.
