Вопрос школьника
Стальной шар падает без начальной скорости с некоторой высоты и имеет у поверхности Земли скорость 50 м/с. За время полёта шара его температура повысилась на 5°С. С какой высоты упал шар, если известно, что на нагревание шара пошло 50% потери его механической энергии?
Ответ от учителя
Первым шагом необходимо найти начальную скорость шара, используя закон сохранения энергии:
$mgh = frac{1}{2}mv^2$
где $m$ — масса шара, $g$ — ускорение свободного падения, $h$ — высота падения, $v$ — скорость при ударе о землю.
Выразим $v$:
$v = sqrt{2gh}$
Затем найдем механическую энергию шара при ударе о землю:
$E_{mech} = frac{1}{2}mv^2$
Так как на нагревание шара пошло 50% его механической энергии, то потери энергии составили также 50%. Следовательно, механическая энергия шара при падении была в два раза больше, чем его кинетическая энергия при ударе о землю:
$E_{mech} = 2E_{kin}$
$E_{kin} = frac{1}{2}mv^2$
$E_{mech} = mgh$
$2E_{kin} = mgh$
$frac{1}{2}mv^2 = mgh$
$v^2 = 2gh$
$v^2 = 2g cdot h$
$h = frac{v^2}{2g}$
$h = frac{(50 м/с)^2}{2 cdot 9.81 м/с^2} approx 127.55 м$
Таким образом, шар упал с высоты около 127.55 м.
Чтобы найти, на сколько градусов повысилась температура шара, воспользуемся законом сохранения энергии в термодинамике:
$Q = Delta E + A$
где $Q$ — теплота, $Delta E$ — изменение внутренней энергии, $A$ — работа, совершенная над системой.
Так как шар падал без начальной скорости, то работа, совершенная над системой, равна нулю. Следовательно:
$Q = Delta E$
$Delta E = mcDelta T$
где $c$ — удельная теплоемкость материала шара.
Так как температура повысилась на 5°С, то:
$Delta T = 5 К$
Также известно, что на нагревание шара пошло 50% его механической энергии. Следовательно:
$Q = frac{1}{2}mv^2$
$Delta E = frac{1}{2}mcfrac{v^2}{2}$
$Delta T = frac{Delta E}{mc}$
$Delta T = frac{frac{1}{2}mcfrac{v^2}{2}}{mc}$
$Delta T = frac{v^2}{4c}$
$Delta T = frac{(50 м/с)^2}{4c} approx 312.5 К$
Таким образом, температура шара повысилась на 312.5 К.
