Вопрос школьника
У рівнобедрений прямокутний трикутник
вписано прямокутник, дві
вершини якого лежать на гіпотенузі,
а дві інші — на катетах (мал. 33).
Знайдіть периметр прямокутника,
якщо його сторони пропорційні числам
2 і 5, а довжина гіпотенузи
дорівнює 18 см
Ответ от учителя
Для розв’язання задачі використаємо властивості вписаного прямокутника в рівнобедрений прямокутний трикутник.
Позначимо сторони прямокутника через $a$ та $b$, а довжину гіпотенузи трикутника через $c$. За умовою задачі, $c=18$ см, а сторони прямокутника пропорційні числам 2 і 5, тобто $a=2k$ та $b=5k$ для деякого $k$.
За властивостями вписаного прямокутника в рівнобедрений прямокутний трикутник, площа прямокутника дорівнює половині площі трикутника:
$$ab=frac{1}{2}cdotfrac{1}{2}c^2=frac{1}{8}cdot 18^2=40.5$$
Також за теоремою Піфагора в рівнобедреному прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює $sqrt{2}$ разів довжині кожного катета, тобто $c=sqrt{2}a=sqrt{2}cdot 2k=2sqrt{2}k$. Звідси отримуємо $k=frac{c}{2sqrt{2}}=frac{18}{2sqrt{2}}=9sqrt{2}$ см.
Тоді сторони прямокутника дорівнюють $a=2k=18sqrt{2}$ см та $b=5k=45sqrt{2}$ см, а його периметр $P=2(a+b)=2(18sqrt{2}+45sqrt{2})=126sqrt{2}$ см.
Отже, периметр прямокутника дорівнює $126sqrt{2}$ см.
