Вопрос школьника
Катер прошел из пункта А по озеру расстояние 5 км, затем повернул на 150° и продолжил движение до тех пор, пока направление на пункт А не стало составлять угол 90° с направлением его движения. Каково перемещение катера? Какое расстояние до пункта А ему еще предстоит пройти?
Ответ от учителя
Перемещение катера — это расстояние от его начальной точки до конечной точки. Для того, чтобы найти перемещение катера, нужно найти координаты его начальной и конечной точек.
Пусть начальная точка катера имеет координаты (0,0), тогда его конечная точка имеет координаты (x,y). Расстояние между начальной и конечной точками можно найти по теореме Пифагора:
$$
sqrt{x^2 + y^2}
$$
Для того, чтобы найти координаты конечной точки, нужно разбить движение катера на две части: первая часть — движение по озеру, вторая часть — движение после поворота.
Первая часть движения — это просто движение по прямой линии на расстояние 5 км. Поскольку катер движется в направлении 150°, то его направление можно представить в виде вектора с координатами (5*cos(150°), 5*sin(150°)):
$$
(5*cos(150°), 5*sin(150°)) = (-2.5, -4.33)
$$
Здесь мы использовали тригонометрические функции cos и sin для вычисления координат вектора.
Вторая часть движения — это движение до тех пор, пока направление на пункт А не станет составлять угол 90° с направлением движения катера. Это означает, что катер движется по дуге окружности с центром в точке А и радиусом, равным расстоянию от начальной точки катера до точки А. Поскольку угол между направлением движения катера и направлением на точку А равен 90°, то точка А лежит на перпендикуляре к вектору движения катера. Этот перпендикуляр можно найти, используя векторное произведение:
$$
vec{v} times vec{n} = |vec{v}||vec{n}|sintheta
$$
Здесь $vec{v}$ — вектор движения катера, $vec{n}$ — вектор, перпендикулярный к вектору движения катера, $theta$ — угол между векторами $vec{v}$ и $vec{n}$. Поскольку угол между векторами $vec{v}$ и $vec{n}$ равен 90°, то $sintheta = 1$, и мы можем записать:
$$
vec{v} times vec{n} = |vec{v}||vec{n}|
$$
Здесь $|vec{v}|$ — длина вектора $vec{v}$, равная 5 км.
Таким образом, мы можем найти вектор $vec{n}$:
$$
vec{n} = frac{vec{v} times vec{n}}{|vec{v}|} = frac{(-2.5, -4.33)}{5} = (-0.5, -0.866)
$$
Этот вектор указывает направление от конечной точки катера до точки А. Расстояние от конечной точки катера до точки А можно найти, умножив длину вектора $vec{n}$ на расстояние от начальной точки катера до точки А:
$$
|vec{n}| cdot d = 5 cdot |vec{n}| = 4.33 text{ км}
$$
Здесь $d$ — расстояние от начальной точки катера до точки А.
Таким образом, перемещение катера равно:
$$
sqrt{x^2 + y^2} = sqrt{(-2.5 + x)^2 + (-4.33 + y)^2}
$$
Расстояние до точки А, которое ему еще предстоит пройти, равно:
$$
d = 4.33 text{ км}
$$
