Вопрос школьника
В цепь, состоящую из аккумулятора и резистора сопротивлением 10 Ом, включают вольтметр сначала последовательно, а затем параллельно резистору сопротивлением R. Оба показания вольтметра одинаковы. Сопротивление вольтметра 1000 Ом. Каково внутреннее сопротивление аккумулятора?
Ответ от учителя
При последовательном включении вольтметра он измеряет напряжение на резисторе и аккумуляторе вместе. По закону Ома, напряжение на резисторе равно произведению его сопротивления на ток, который протекает через цепь. Таким образом, мы можем записать уравнение:
U = IR + V
где U — измеренное вольтметром напряжение, I — ток в цепи, R — сопротивление резистора, V — напряжение на аккумуляторе.
При параллельном включении вольтметр измеряет только напряжение на резисторе, так как сопротивление вольтметра очень большое по сравнению с сопротивлением резистора. Таким образом, мы можем записать уравнение:
U = IR
Так как оба показания вольтметра одинаковы, мы можем приравнять уравнения:
IR + V = IR
V = -IR
Это означает, что напряжение на аккумуляторе равно противоположному по знаку напряжению на резисторе. Таким образом, мы можем записать:
V = -IR = -I(R + 1000)
где 1000 — сопротивление вольтметра.
Решая это уравнение относительно I, мы получаем:
I = V/(R + 1000)
Теперь мы можем использовать это выражение, чтобы найти внутреннее сопротивление аккумулятора. По закону Кирхгофа для напряжений, сумма напряжений в цепи равна электродвижущей силе (ЭДС) аккумулятора:
V + IR = E
где E — ЭДС аккумулятора.
Мы можем выразить V через I из предыдущего уравнения:
V = IR(R + 1000)
Подставляя это выражение в уравнение для ЭДС, мы получаем:
IR(R + 1000) + IR = E
I(R^2 + 1000R + 1) = E
I = E/(R^2 + 1000R + 1)
Теперь мы можем использовать это выражение, чтобы найти внутреннее сопротивление аккумулятора. По закону Ома, сопротивление аккумулятора равно напряжению на нем, деленному на ток:
r = V/I = E/(IR) — R
Подставляя выражение для I, мы получаем:
r = E/(E/(R^2 + 1000R + 1)) — R
r = R^2 + 1000R + 1 — R
r = R^2 + 999R + 1
Таким образом, внутреннее сопротивление аккумулятора равно R^2 + 999R + 1, где R = 10 Ом. Подставляя это значение, мы получаем:
r = 10^2 + 999*10 + 1 = 10000 + 9990 + 1 = 19991 Ом
Ответ: внутреннее сопротивление аккумулятора равно 19991 Ом.
