Вопрос школьника
Ртуть налита в стеклянный сосуд высотой L=10 см. При температуре t=20° С уровень ртути на h=1 мм ниже верхнего края сосуда. На сколько можно нагреть ртуть, чтобы она не вылилась из сосуда? Коэффициент объемного расширения ртути β=1,82·10-4 K-1. Расширением стекла пренебречь.
Ответ от учителя
Для решения задачи необходимо определить, насколько изменится уровень ртути в сосуде при изменении температуры и сравнить его с высотой сосуда.
Известно, что коэффициент объемного расширения ртути β=1,82·10-4 K-1. Это означает, что при изменении температуры на 1 градус Цельсия объем ртути увеличится на 1,82·10-4 от своего начального объема.
Пусть температура ртути изначально равна t1=20°С, а ее объем V1 соответствует уровню h1=1 мм. Тогда при изменении температуры на Δt градусов Цельсия ее объем изменится на ΔV=V1·β·Δt. Уровень ртути в сосуде изменится на Δh=ΔV/S, где S — площадь поперечного сечения сосуда.
Площадь поперечного сечения сосуда можно найти, зная его высоту и диаметр. Пусть диаметр сосуда равен D. Тогда его площадь S=π·D2/4.
Из условия задачи известно, что высота сосуда L=10 см=100 мм. Тогда площадь поперечного сечения сосуда S=π·D2/4=π·(D/2)2=π·(h1+L)2/4.
Таким образом, изменение уровня ртути в сосуде при изменении температуры на Δt градусов Цельсия будет равно:
Δh = ΔV/S = V1·β·Δt / [π·(h1+L)2/4]
При каком значении Δt уровень ртути в сосуде будет равен высоте сосуда h=L? Это значит, что ртуть не выльется из сосуда.
Подставим h=L и решим уравнение относительно Δt:
L = V1·β·Δt / [π·(h1+L)2/4]
Δt = L·π·(h1+L)2 / [V1·β]
Подставим известные значения:
L = 100 мм
h1 = 1 мм
V1 = S·h1 = π·(h1+L)2/4·h1
β = 1,82·10-4 K-1
Тогда:
Δt = 100 мм·π·(1 мм+100 мм)2 / [π·(1 мм+100 мм)2/4·h1·1,82·10-4 K-1] ≈ 61,5°С
Ответ: на 61,5°С можно нагреть ртуть, чтобы она не вылилась из сосуда.
