Вопрос школьника
Основанием прямого параллелепипеда служит ромб, произведение длин диагоналей которого равно 48 см2, а радиус вписанной в него окружности равен 12/5 см. Вычислите площадь полной поверхности параллелепипеда, если длина диагонали боковой грани равна 13 см.
Ответ от учителя
Рассмотрим ромб, основанием которого служит основание параллелепипеда. Пусть его диагонали равны $d_1$ и $d_2$. Тогда по условию задачи $d_1 cdot d_2 = 48$.
Также известно, что радиус вписанной в ромб окружности равен $r = frac{12}{5}$ см. По формуле для радиуса вписанной окружности в ромбе, $r = frac{1}{2} sqrt{d_1^2 + d_2^2}$.
Выразим $d_2$ из первого уравнения: $d_2 = frac{48}{d_1}$. Подставим это выражение во второе уравнение и решим его относительно $d_1$:
$$r = frac{1}{2} sqrt{d_1^2 + left(frac{48}{d_1}right)^2}$$
$$frac{24}{5} = sqrt{d_1^2 + left(frac{48}{d_1}right)^2}$$
$$frac{576}{25} = d_1^2 + left(frac{48}{d_1}right)^2$$
$$frac{576}{25} = d_1^2 + frac{2304}{d_1^2}$$
Умножим обе части уравнения на $d_1^2$:
$$frac{576}{25} cdot d_1^2 = d_1^4 + 2304$$
$$d_1^4 — frac{576}{25} cdot d_1^2 + 2304 = 0$$
Решим это уравнение относительно $d_1^2$ с помощью дискриминанта:
$$d_1^2 = frac{frac{576}{25} pm sqrt{left(frac{576}{25}right)^2 — 4 cdot 1 cdot 2304}}{2 cdot 1}$$
$$d_1^2 = frac{576}{25} pm frac{96}{5}$$
Так как $d_1^2$ должно быть положительным, то выбираем знак «+»:
$$d_1^2 = frac{576}{25} + frac{96}{5} = frac{576 + 480}{25} = frac{1056}{25}$$
$$d_1 = sqrt{frac{1056}{25}} = frac{16 sqrt{66}}{25}$$
Теперь найдем диагональ боковой грани параллелепипеда. Пусть она равна $d$. Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$:
$$c^2 = a^2 + b^2$$
В нашем случае $a = b = frac{d}{sqrt{2}}$ и $c = 13$. Подставляем и находим $d$:
$$13^2 = 2 cdot left(frac{d}{sqrt{2}}right)^2$$
$$169 = d^2$$
$$d = 13$$
Теперь можем найти площадь полной поверхности параллелепипеда. Она равна сумме площадей всех его граней. Площадь основания равна $S_{text{осн}} = d_1^2 = frac{1024}{25} cdot 66$. Площадь боковой грани равна $S_{text{бок}} = d cdot h$, где $h$ — высота боковой грани. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$:
$$c^2 = a^2 + b^2$$
В нашем случае $a = frac{d}{sqrt{2}}$, $b = frac{d_1}{2}$ и $c = h$. Подставляем и находим $h$:
$$h^2 = left(frac{d}{sqrt{2}}right)^2 + left(frac{d_1}{2}right)^2$$
$$h^2 = frac{169}{2} + left(frac{16 sqrt{66}}{50}right)^2$$
$$h^2 = frac{169}{2} + frac{4096}{625} cdot 66$$
$$h^2 = frac{845}{2} + frac{262144}{625}$$
$$h^2 = frac{4225}{2} + frac{262144}{625} cdot 2$$
$$h^2 = frac{4225 cdot 625 + 262144 cdot 2}{1250}$$
$$h^2 = frac{4225 cdot 5^4 + 262144 cdot 2}{5^4}$$
$$h = frac{5 sqrt{4225 cdot 5^4 + 262144 cdot 2}}{5^2}$$
Теперь можем найти площадь полной поверхности:
$$S_{text{полн}} = 2S_{text{осн}} + 4S_{text{бок}} = 2 cdot frac{1024}{25} cdot 66 + 4 cdot 13 cdot frac{5 sqrt{4225 cdot 5^4 + 262144 cdot 2}}{5^2} approx 2677.6 text{ см}^2$$
Ответ: $2677.6 text{ см}^2$.
