Вопрос школьника
В круге радиуса 1 с центром О проведены радиусы ОА и ОВ. Найдите радиус окружности, касающейся ОА, ОВ и дуги АВ, если: а) АОВ = 60°; б) АОВ = 90°.
Ответ от учителя
а) Пусть точка касания искомой окружности с ОА и ОВ соответственно обозначаются точками С и D. Также обозначим точку пересечения ОА и ОВ как Е. Тогда треугольник ОСЕ является равносторонним, так как ОС и ОЕ являются радиусами круга, а значит, ОС = ОЕ = 1. Также угол ОСД равен половине угла АОВ, то есть 30°. Тогда угол ОДС также равен 30°, а значит, треугольник ОДС также является равносторонним. Значит, ОД = ОС = 1, а радиус искомой окружности равен ОС + ОД = 2.
б) Аналогично предыдущему пункту, треугольник ОСЕ является равносторонним. Угол ОСД равен 45°, так как он является половиной угла АОВ. Тогда угол ОДС также равен 45°, а значит, треугольник ОДС является прямоугольным с катетами ОД = ОС = 1. Значит, гипотенуза ОСD равна √2, а радиус искомой окружности равен ОС + ОД — √2 = 2 — √2.
