Вопрос школьника
Биссектриса угла A при основании AC равнобедренного треугольника ABC делит боковую сторону в отношении 5:8, если считать от вершины B. Средняя линия треугольника, параллельная основанию, делится этой биссектрисой на части, разность которых равна 18 см. Найдите периметр треугольника.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть $M$ — середина стороны $AB$, $BM = MC = x$, $BC = a$, $AC = b$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $AC = BC = b$. Пусть $BD$ — биссектриса угла $A$, $BD = d$. Тогда $AD = DC = frac{b}{2}$.
По условию, $BD$ делит сторону $AC$ в отношении $5:8$, то есть $frac{BD}{DC} = frac{5}{8}$. Из этого следует, что $d = frac{5b}{13}$.
Средняя линия $MN$ параллельна основанию $AC$ и равна половине стороны $BC$, то есть $MN = frac{a}{2}$. Пусть точка пересечения $BD$ и $MN$ обозначается буквой $K$. Тогда $BK = KD = frac{d}{2} = frac{5b}{26}$.
Разность частей, на которые делит биссектриса $BD$ средняя линия $MN$, равна $18$ см. Значит, $MK — KN = 18$. Но $MK = BM — BK = x — frac{5b}{26}$, а $KN = NC — BC/2 = frac{b}{2} — frac{a}{2} = frac{b}{2} — frac{b}{2sqrt{2}}$. Подставляем эти выражения в уравнение $MK — KN = 18$ и получаем:
$$x — frac{5b}{26} — frac{b}{2} + frac{b}{2sqrt{2}} = 18$$
Упрощаем:
$$x = frac{13b}{26} + frac{b}{2} — frac{b}{2sqrt{2}} + 18 = frac{13b}{26} + frac{b}{2} left(1 — frac{1}{sqrt{2}}right) + 18$$
Теперь можем найти стороны треугольника $ABC$:
$$a = 2x = frac{13b}{13} + b left(1 — frac{1}{sqrt{2}}right) + 36 = b left(frac{13}{13} + 1 — frac{1}{sqrt{2}}right) + 36 = b left(frac{13 + sqrt{2}}{sqrt{2}}right) + 36$$
$$c = sqrt{a^2 + b^2 — 2abcos{angle{ACB}}} = sqrt{2a^2 — 2a^2cos{angle{ACB}}} = asqrt{2(1 — cos{angle{ACB}})} = asqrt{2left(1 — frac{b^2}{2a^2}right)} = asqrt{2left(1 — frac{b^2}{2(a^2 + b^2/2)}right)} = asqrt{frac{2a^2 + b^2}{2a^2 + b^2}} = bsqrt{frac{2a^2 + b^2}{a^2 + b^2}} = bsqrt{frac{26^2 + b^2}{13^2 + b^2}}$$
Периметр треугольника $ABC$ равен $P = a + b + c = bleft(frac{13 + sqrt{2}}{sqrt{2}} + 1 + sqrt{frac{26^2 + b^2}{13^2 + b^2}}right)$. Осталось найти $b$.
Из условия $frac{BD}{DC} = frac{5}{8}$ следует, что $frac{d}{frac{b}{2}} = frac{5}{8}$, откуда $b = frac{16d}{5} = frac{16 cdot 5b}{13 cdot 5} = frac{80b}{13}$. Подставляем это значение $b$ в формулу для периметра и получаем:
$$P = frac{80b}{13}left(frac{13 + sqrt{2}}{sqrt{2}} + 1 + sqrt{frac{26^2 + frac{6400b^2}{169}}{13^2 + frac{6400b^2}{169}}}right) = frac{80}{13}left(13 + sqrt{2} + sqrt{26^2 + frac{6400b^2}{169}}right)$$
Осталось только найти $b$. Для этого решим уравнение:
$$x — frac{5b}{26} — frac{b}{2} + frac{b}{2sqrt{2}} = 18$$
$$frac{13b}{26} + frac{b}{2} left(1 — frac{1}{sqrt{2}}right) + 18 — 18 = frac{5b}{26}$$
$$frac{13b}{26} + frac{b}{2} left(1 — frac{1}{sqrt{2}}right) = frac{5b}{26}$$
$$frac{13}{26}b + frac{b}{2} left(1 — frac{1}{sqrt{2}}right) = frac{5}{26}b$$
$$frac{13}{26} + frac{1}{2} left(1 — frac{1}{sqrt{2}}right) = frac{5}{26}$$
$$frac{13}{26} + frac{1}{2} — frac{1}{2sqrt{2}} = frac{5}{26}$$
$$frac{13}{26} — frac{1}{2sqrt{2}} = frac{5}{26}$$
$$frac{13}{26} — frac{1}{2sqrt{2}} — frac{5}{26} = 0$$
$$frac{13}{26} — frac{5}{26} — frac{1}{2sqrt{2}}} = 0$$
$$frac{8}{26} — frac{1}{2sqrt{2}}} = 0$$
$$frac{4}{13} — frac{1}{sqrt{2}}} = 0$$
$$frac{4sqrt{2}}{26} — frac{13}{26} = 0$$
$$4sqrt{2} — 13 = 0$$
$$b = frac{13}{4sqrt{2}}$$
Подставляем это значение $b$ в формулу для периметра и получаем:
$$P = frac{80}{13}left(13 + sqrt{2} + sqrt{26^2 + frac{6400}{169 cdot 2}}right) = frac{80}{13}left(13 + sqrt{2} + sqrt{26^2 + frac{3200}{169}}right) approx 157.6$$
Ответ: $P approx 157.6$.
