Вопрос школьника
Стороны угла А пересечены параллельными прямыми ВС и DE, причём точки В и D лежат на одной стороне угла, а С и Е — на другой. Найдите: а) АС, если С.Е = 10 см, AD = 22 см, BD= 8 см; б) BD и DE, если АВ = 10см, АС = 8 см, ВС = 4 см, СЕ = 4 см; в) ВС, если АВ : BD = 2 : 1 и DE = 12 см.
Ответ от учителя
а) Из условия задачи следует, что треугольники АВС и АDE подобны, так как углы АВС и АDE соответственно равны (они являются вертикальными углами) и углы ВАС и ДАЕ равны (они являются соответственными углами при параллельных прямых). Таким образом, мы можем записать пропорцию:
$frac{AC}{AD} = frac{BC}{BD}$
Подставляем известные значения:
$frac{AC}{22} = frac{BC}{8}$
$BC = frac{8AC}{22}$
Также из условия задачи следует, что BC + CE = AB, то есть:
$frac{8AC}{22} + 10 = 10$
$frac{8AC}{22} = 0$
Отсюда следует, что AC = 0, что является невозможным. Таким образом, ответа на этот пункт задачи не существует.
б) Из условия задачи следует, что треугольники АВС и АDE подобны, так как углы АВС и АDE соответственно равны (они являются вертикальными углами) и углы ВАС и ДАЕ равны (они являются соответственными углами при параллельных прямых). Таким образом, мы можем записать пропорции:
$frac{BD}{AB} = frac{DE}{AD}$
$frac{BC}{AB} = frac{CE}{AE}$
Подставляем известные значения:
$frac{BD}{10} = frac{DE}{22}$
$frac{BC}{10} = frac{4}{AE}$
$AE = frac{40}{BC}$
Также из условия задачи следует, что BC + CE = AB, то есть:
$BC + frac{4BC}{AE} = 10$
$BC + frac{4BC}{frac{40}{BC}} = 10$
$BC^2 + 4BC = 100$
$BC^2 + 4BC — 100 = 0$
Решаем квадратное уравнение:
$BC = frac{-4 pm sqrt{4^2 — 4 cdot 1 cdot (-100)}}{2 cdot 1}$
$BC = frac{-4 pm sqrt{416}}{2}$
$BC approx 8.16$ или $BC approx -12.16$
Отрицательный ответ не имеет смысла, так как длина стороны не может быть отрицательной. Таким образом, BD ≈ 8.16 см и DE ≈ 18.84 см.
в) Из условия задачи следует, что треугольники АВС и АDE подобны, так как углы АВС и АDE соответственно равны (они являются вертикальными углами) и углы ВАС и ДАЕ равны (они являются соответственными углами при параллельных прямых). Таким образом, мы можем записать пропорцию:
$frac{AB}{BD} = frac{AC}{DE}$
Подставляем известные значения:
$frac{10}{8} = frac{AC}{12}$
$AC = frac{5}{2}$
Таким образом, ВС = AB — AC — BC = 10 — $frac{5}{2}$ — $frac{1}{2} cdot BD$ = 5 — $frac{1}{2} cdot BD$. Также из условия задачи следует, что BD = 2AD, то есть BD = 44 см. Подставляем значение BD:
ВС = 5 — $frac{1}{2} cdot 44$ = -17
Ответ: ВС = -17 см. Однако, так как длина стороны не может быть отрицательной, ответа на этот пункт задачи не существует.
