Вопрос школьника
В правильной треугольной пирамиде SABC точка К – середина ребра ВС, S – вершина. Известно, что АВ = 6, а SК = 7. Найдите площадь боковой поверхности
Ответ от учителя
Поскольку треугольник SBC является прямоугольным, то по теореме Пифагора:
SB² = SC² + BC²
Так как треугольник SAB также является прямоугольным, то:
SA² = SB² + AB²
Следовательно:
SA² = SC² + BC² + AB²
Так как точка К является серединой ребра ВС, то:
KC = 1/2 * BC
Также из условия задачи известно, что:
SK = 7
Так как треугольник SKC является прямоугольным, то:
SK² = SC² + KC²
Подставляя значение KC, получаем:
49 = SC² + 1/4 * BC²
Умножим обе части на 4:
196 = 4SC² + BC²
Теперь подставим значение BC² из первого уравнения:
196 = 4SC² + SB² — SC²
196 = 3SC² + SB²
Также из первого уравнения можно выразить SB²:
SB² = SC² + BC² = SC² + 4KC² = SC² + 2BC²
Подставляем это значение в предыдущее уравнение:
196 = 3SC² + SC² + 2BC²
196 = 4SC² + 2SC²
196 = 6SC²
SC² = 196/6
SC = √(196/6)
Теперь можем найти значение AB:
SA² = SC² + BC² + AB²
AB² = SA² — SC² — BC²
AB² = 7² — (196/6) — 3²
AB² = 49 — (196/6) — 9
AB² = 16/6
AB = √(16/6)
Теперь можем найти площадь боковой поверхности:
Площадь боковой поверхности = площадь треугольника SAB + площадь треугольника SBC + площадь треугольника SAC
Площадь треугольника SAB = 1/2 * AB * SA = 1/2 * √(16/6) * 7
Площадь треугольника SBC = 1/2 * BC * SC = 1/2 * 2BC * √(196/6)
Площадь треугольника SAC = 1/2 * AC * SA = 1/2 * √(AB² + BC²) * 7
Заменяем значения AB и BC:
Площадь треугольника SAB = 7/√6
Площадь треугольника SBC = BC * √(196/6) = BC * 2√(6/2) = 2BC√3
Площадь треугольника SAC = 7/√6
Подставляем значения в формулу:
Площадь боковой поверхности = 7/√6 + 2BC√3 + 7/√6
Подставляем значение BC² из первого уравнения:
Площадь боковой поверхности = 7/√6 + 2√(4SC² — 196/3)√3 + 7/√6
Подставляем значение SC:
Площадь боковой поверхности = 7/√6 + 2√(4(196/6) — 196/3)√3 + 7/√6
Площадь боковой поверхности = 7/√6 + 2√(392/6 — 196/3)√3 + 7/√6
Площадь боковой поверхности = 7/√6 + 2√(196/3)√3 + 7/√6
Площадь боковой поверхности = 7/√6 + 2√(588/9) + 7/√6
Площадь боковой поверхности = 7/√6 + 4√(196/3)/3 + 7/√6
Площадь боковой поверхности = 7/√6 + 4√(588)/9 + 7/√6
Площадь боковой поверхности = (16/√6) + (4√(588)/9)
Площадь боковой поверхности ≈ 38,6
Ответ: площадь боковой поверхности равна примерно 38,6.
