Вопрос школьника
Счётчик регистрирует частицы трех типов А, В и С. Вероятность попадания этих частиц Р(А) = 0.2, Р(В) = 0.5, Р(С) = 0.3. Частицы каждого из этих типов счётчик улавливает с вероятностью Р1 = 0.8, Р2 = 0.2, Р3 = 0.4. Счетчик отметил частицу. Определите вероятность того, что это была частица типа В.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся формулой условной вероятности:
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)
где P(B|A) — вероятность события B при условии, что произошло событие A, P(A∩B) — вероятность одновременного наступления событий A и B, P(A) — вероятность наступления события A.
В данной задаче событие A — отметка частицы счетчиком, событие B — частица типа В. Нам нужно найти вероятность P(B|A).
Вероятность того, что счетчик зарегистрировал частицу типа В, равна произведению вероятности попадания частицы типа В на вероятность ее улавливания счетчиком:
P(B) = P(В) * P2 = 0.5 * 0.2 = 0.1
Вероятность того, что счетчик зарегистрировал любую частицу, равна сумме произведений вероятностей попадания каждого типа частиц на вероятность их улавливания счетчиком:
P(A) = P(А) * P1 + P(В) * P2 + P(С) * P3 = 0.2 * 0.8 + 0.5 * 0.2 + 0.3 * 0.4 = 0.34
Вероятность того, что счетчик зарегистрировал частицу типа В при условии, что он зарегистрировал любую частицу, равна произведению вероятности зарегистрировать частицу типа В и вероятности зарегистрировать любую частицу:
P(B|A) = P(В) * P2 / P(A) = 0.5 * 0.2 / 0.34 ≈ 0.294
Таким образом, вероятность того, что отмеченная счетчиком частица была типа В, составляет около 29,4%.
