Вопрос школьника
Вероятность появления события в каждом из 2100 испытаний равна 0,7. Найти вероятность того что событие появится не менее 1470 и не более 1500 раз.
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо воспользоваться биномиальным распределением.
Пусть p — вероятность появления события в одном испытании, а q = 1 — p — вероятность его непоявления. Тогда вероятность того, что событие появится k раз в n испытаниях, вычисляется по формуле:
P(k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k),
где C(n, k) — число сочетаний из n по k.
В данной задаче p = 0,7, q = 0,3, n = 2100. Необходимо найти вероятность того, что событие появится не менее 1470 и не более 1500 раз, то есть сумму вероятностей P(k) для k от 1470 до 1500 включительно:
P = P(1470) + P(1471) + … + P(1500).
Так как вычисление каждой вероятности P(k) требует больших вычислительных затрат, то для решения данной задачи удобнее воспользоваться нормальным распределением.
Согласно центральной предельной теореме, при больших значениях n биномиальное распределение можно приблизить нормальным распределением с параметрами:
m = n * p,
s^2 = n * p * q.
Тогда вероятность P можно вычислить с помощью нормального распределения:
P = F(x2) — F(x1),
где F(x) — функция распределения стандартного нормального распределения, x1 = (1470 — m) / sqrt(s^2), x2 = (1500 — m) / sqrt(s^2).
Подставляя значения параметров, получаем:
m = 2100 * 0,7 = 1470,
s^2 = 2100 * 0,7 * 0,3 = 441,
x1 = (1470 — 1470) / sqrt(441) = 0,
x2 = (1500 — 1470) / sqrt(441) = 1,63.
Используя таблицу значений функции распределения стандартного нормального распределения, находим:
F(x1) = 0,5,
F(x2) = 0,9474.
Тогда вероятность P равна:
P = F(x2) — F(x1) = 0,9474 — 0,5 = 0,4474.
Ответ: вероятность того, что событие появится не менее 1470 и не более 1500 раз при 2100 испытаниях с вероятностью появления события 0,7 равна 0,4474.
