Вопрос школьника
Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается стороны АС в точке F. Докажите, что AF =р — а, где р — полупериметр треугольника АВС, ВС = а.
Ответ от учителя
Для начала, обозначим центр вписанной окружности как O, а точки касания с сторонами AB и BC как E и D соответственно. Также обозначим длины отрезков AF и FC как x и y соответственно.
Так как окружность вписана в треугольник ABC, то ее центр O лежит на пересечении биссектрис углов треугольника. Таким образом, угол AOE равен половине угла A, а угол COF равен половине угла C.
Также, так как точка F является точкой касания окружности с стороной AC, то отрезок AF является радиусом окружности. Таким образом, x = r — a.
Теперь рассмотрим треугольник AOC. Он является прямоугольным, так как угол AOC равен 90 градусов (так как O лежит на биссектрисе угла C). Также, мы знаем, что OD является радиусом окружности, а значит, OD = r.
Таким образом, мы можем записать:
AC = AO + OC = r + r = 2r
AF + FC = AC
x + y = 2r
x = 2r — y
Теперь мы можем подставить x = r — a в последнее уравнение и получить:
r — a = 2r — y
y = r + a — 2r
y = a — r
Таким образом, мы получили, что y = a — r. Теперь мы можем подставить это значение в уравнение x + y = 2r и получить:
x + (a — r) = 2r
x = r — a
Таким образом, мы доказали, что AF = r — a.
