Вопрос школьника
Каким должно быть число подбрасываний игральной кости, чтобы наивероятнейшее число выпадений грани с единицей оказалось равным 5?
Ответ от учителя
Для решения этой задачи необходимо использовать биномиальное распределение. Вероятность выпадения грани с единицей на одном броске равна 1/6, а вероятность выпадения любой другой грани равна 5/6.
Пусть X — число выпадений грани с единицей при n бросках. Тогда X имеет биномиальное распределение с параметрами n и p = 1/6.
Наивероятнейшее число выпадений грани с единицей равно 5, значит, нужно найти такое n, при котором P(X=5) максимально.
Формула для вероятности P(X=k) имеет вид:
P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k),
где C(n,k) — число сочетаний из n элементов по k.
Для нахождения наивероятнейшего числа выпадений грани с единицей нужно найти такое n, при котором P(X=5) максимально. Для этого можно построить график функции P(X=5) от n и найти ее максимум.
Однако, можно воспользоваться аппроксимацией Пуассона для биномиального распределения при больших значениях n и малых значениях p. В этом случае можно использовать формулу:
P(X=k) ≈ (λ^k / k!) * e^(-λ),
где λ = np — среднее значение распределения.
Для нашей задачи среднее значение равно λ = np = n/6. Тогда вероятность P(X=5) принимает вид:
P(X=5) ≈ (λ^5 / 5!) * e^(-λ) = (n/6)^5 * e^(-n/6) / 120.
Для нахождения максимума этой функции можно взять ее производную и приравнять к нулю:
d/dn (P(X=5)) = (5/6^5) * n^4 * e^(-n/6) — (n/6)^5 * e^(-n/6) / 120 = 0.
Решив это уравнение, получим n ≈ 27.7.
Таким образом, наивероятнейшее число выпадений грани с единицей оказывается равным 5 при n ≈ 28 бросках.
