Вопрос школьника
В основании четырёхугольной пирамиды лежит квадрат, а её боковые грани равнонаклонены к плоскости основания. Докажите, что пирамида правильная.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что пирамида правильная, нужно показать, что её боковые грани являются равнобедренными треугольниками и что все углы между боковыми гранями и основанием равны.
Поскольку боковые грани равнонаклонены к плоскости основания, то они имеют одинаковый угол наклона к этой плоскости. Таким образом, боковые грани являются равнобедренными треугольниками.
Для того чтобы показать, что все углы между боковыми гранями и основанием равны, рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и середину одной из боковых граней. Это сечение будет прямоугольным треугольником, в котором один катет равен половине стороны основания, а другой катет равен высоте пирамиды. Таким образом, угол между боковой гранью и основанием равен углу между катетами этого треугольника.
Так как все боковые грани равны между собой, то все углы между боковыми гранями и основанием равны между собой. Следовательно, пирамида является правильной.
Таким образом, мы доказали, что если в основании четырёхугольной пирамиды лежит квадрат, а её боковые грани равнонаклонены к плоскости основания, то эта пирамида является правильной.
