Вопрос школьника
Отрезок CF — высота, проведенная к гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АСВ. Вычислите площадь треугольника АСВ, если CF = 6 см, AF = 3 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно знать, что высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит его на два подобных треугольника. Также мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Из условия задачи мы знаем, что CF = 6 см и AF = 3 см. Также мы можем обозначить длину BC как x, а длину AB как y.
Таким образом, мы можем записать два уравнения:
1. AC^2 = AF^2 + CF^2 (по теореме Пифагора для треугольника ACF)
2. BC^2 = AB^2 — AC^2 (по теореме Пифагора для треугольника ABC)
Решим первое уравнение:
AC^2 = AF^2 + CF^2
AC^2 = 3^2 + 6^2
AC^2 = 45
AC = sqrt(45)
AC = 3sqrt(5)
Теперь решим второе уравнение:
BC^2 = AB^2 — AC^2
BC^2 = y^2 — 45
Мы знаем, что треугольник АСВ делится высотой CF на два подобных треугольника. Значит, отношение длины катета к длине гипотенузы в этих треугольниках одинаково. Мы можем записать:
CF/AC = AC/AB
6/3sqrt(5) = 3sqrt(5)/y
y = 30/3sqrt(5)
y = 6sqrt(5)
Теперь мы можем вычислить площадь треугольника АСВ:
S = (AB*CF)/2
S = (y*6)/2
S = 18sqrt(5)
Ответ: площадь треугольника АСВ равна 18sqrt(5) квадратных сантиметров.
