Вопрос школьника
На основании АВ равнобедренного треугольника ABC взята точка М, равноудаленная от боковых сторон. Докажите, что СМ — высота треугольника ABC
Ответ от учителя
Для доказательства того, что СМ является высотой треугольника ABC, нужно показать, что она перпендикулярна к основанию треугольника, то есть к стороне АС и к стороне ВС.
Для начала заметим, что точка М является серединой стороны АВ, так как треугольник ABC равнобедренный. Также заметим, что треугольник АМС является прямоугольным, так как точка М находится на равном расстоянии от сторон АС и ВС, а значит, угол АМС равен 90 градусов.
Теперь рассмотрим треугольник АМС. Из свойств прямоугольного треугольника следует, что высота, опущенная на гипотенузу, является ее средним геометрическим сегментом. То есть, если h — высота треугольника АМС, то:
h^2 = АМ * СМ
Но мы знаем, что точка М является серединой стороны АВ, а значит, АМ = ВМ. Также мы знаем, что треугольник ABC равнобедренный, а значит, АС = ВС. Тогда:
АМ * СМ = ВМ * СМ = (ВС/2) * СМ
Таким образом, мы получили:
h^2 = (ВС/2) * СМ
h^2 = (2 * SABC / ВС) * СМ
где SABC — площадь треугольника ABC.
Теперь заметим, что площадь треугольника ABC можно выразить через его высоту h и основание ВС:
SABC = (ВС * h) / 2
Подставляя это выражение в предыдущее равенство, получаем:
h^2 = (2 * (ВС * h / 2) / ВС) * СМ
h^2 = h * СМ
h = СМ
Таким образом, мы доказали, что высота треугольника АМС равна СМ, а значит, СМ является высотой треугольника ABC, опущенной на сторону АС и ВС.
