Вопрос школьника
Около треугольника ABC описана окружность с центром О, угол АОС равен 60°. В треугольник ABC вписана окружность с центром М. Найдите угол АМС
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся свойствами описанной и вписанной окружностей треугольника.
1. Окружность, описанная около треугольника, проходит через вершины треугольника и имеет центр, лежащий на пересечении биссектрис углов треугольника.
2. Окружность, вписанная в треугольник, касается всех сторон треугольника и имеет центр, лежащий на пересечении биссектрис углов треугольника.
Из этих свойств следует, что точка М, являющаяся центром вписанной окружности, лежит на линии, проходящей через центр описанной окружности О и точку пересечения биссектрис углов треугольника.
Также из условия задачи известно, что угол АОС равен 60°. Значит, угол АОМ равен половине угла АОС, то есть 30°.
Теперь рассмотрим треугольник АМС. Угол АМС равен сумме углов АМО и ОМС. Угол АМО равен 180° минус угол АОМ, то есть 150°. Угол ОМС равен половине угла СОА, то есть 30°.
Итак, угол АМС равен 150° + 30° = 180°. Ответ: 180°.
