Вопрос школьника
Из середины M основания BC равнобедренного треугольника ABC проведены биссектрисы MP и MQ треугольников ABM и ACM. Докажите, что ∠PMB = ∠QMC.
Ответ от учителя
Для доказательства равенства углов ∠PMB и ∠QMC воспользуемся теоремой о трёх биссектрисах.
По условию, треугольник ABC является равнобедренным, то есть AB = AC. Тогда биссектрисы углов BAC и ABC совпадают и проходят через точку M.
Рассмотрим треугольник ABM. По теореме о трёх биссектрисах, точка P лежит на биссектрисе угла AMB, то есть делит угол AMB на две равные части. Аналогично, для треугольника ACM точка Q лежит на биссектрисе угла AMC.
Таким образом, углы ∠PMB и ∠QMC являются соответственно углами между биссектрисами углов AMB и AMC, которые проходят через общую точку M. Поэтому эти углы равны между собой, то есть ∠PMB = ∠QMC.
Таким образом, мы доказали, что углы ∠PMB и ∠QMC равны между собой, что и требовалось доказать.
