Вопрос школьника
Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность и можно описать около него окружность, то этот параллелограмм — квадрат.
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим случай, когда в параллелограмм можно вписать окружность. Это означает, что существует окружность, которая касается всех четырех сторон параллелограмма. Пусть радиус этой окружности равен r.
Также предположим, что параллелограмм можно описать около окружности. Это означает, что существует окружность, которая проходит через все четыре вершины параллелограмма. Пусть радиус этой окружности равен R.
Теперь рассмотрим диагонали параллелограмма. Они делят параллелограмм на четыре треугольника. Поскольку диагонали параллелограмма равны и пересекаются на середине, то каждый из этих треугольников является равнобедренным.
Рассмотрим один из этих треугольников. Пусть a и b — длины его боковых сторон, а c — длина основания (одной из диагоналей параллелограмма). По теореме о касательной и хорде, биссектриса угла между боковыми сторонами проходит через центр окружности, вписанной в треугольник. Таким образом, биссектриса делит основание на две равные части.
Поэтому, в каждом из четырех треугольников, боковые стороны равны между собой, а значит, все четыре угла параллелограмма равны между собой.
Теперь рассмотрим треугольник, образованный диагональю и двумя сторонами параллелограмма. Этот треугольник также является равнобедренным, поскольку боковые стороны равны между собой. Значит, угол между этими сторонами равен углу между боковой стороной и основанием, то есть углу параллелограмма.
Таким образом, все углы параллелограмма равны между собой, а значит, он является ромбом. Но поскольку диагонали ромба перпендикулярны и делят его на два равнобедренных треугольника, то ромб является квадратом.
Таким образом, если в параллелограмм можно вписать окружность и можно описать около него окружность, то этот параллелограмм является квадратом.
