Вопрос школьника
Медианы треугольника ABC, проведенные к сторонам AB и BC, взаимно перпендикулярны и равны 9 см и 12 см. Найдите длину третьей медианы
Ответ от учителя
Медианы треугольника делят его на 6 равных треугольников. Пусть точка пересечения медиан называется O, а третья медиана — AD. Тогда медиана, проведенная к стороне AC, является высотой треугольника AOB, а медиана, проведенная к стороне BC, является высотой треугольника BOC.
Так как медианы взаимно перпендикулярны, то треугольники AOB и BOC являются прямоугольными. Поэтому, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длин сторон этих треугольников.
В треугольнике AOB, где медиана равна 9 см, мы можем обозначить половину стороны AB как x. Тогда, по теореме Пифагора:
$AO^2 = x^2 — 9^2$
В треугольнике BOC, где медиана равна 12 см, мы можем обозначить половину стороны BC как y. Тогда, по теореме Пифагора:
$BO^2 = y^2 — 12^2$
Так как точка O является точкой пересечения медиан, то она делит медианы на две равные части. Поэтому, мы можем обозначить половину медианы AD как z. Тогда, по теореме Пифагора:
$AO^2 + BO^2 = 4z^2$
Подставляя значения $AO^2$ и $BO^2$, получаем:
$x^2 — 9^2 + y^2 — 12^2 = 4z^2$
$x^2 + y^2 — 225 = 4z^2$
Также, мы знаем, что медианы делят треугольник на 6 равных треугольников. Поэтому, мы можем использовать формулу для нахождения площади треугольника через медианы:
$S = frac{1}{4}sqrt{4m^2 — a^2 — b^2 — c^2}$
Где m — медиана, a, b, c — стороны треугольника.
Подставляя известные значения, получаем:
$S = frac{1}{4}sqrt{4cdot9^2 — AB^2 — AC^2 — BC^2}$
$S = frac{1}{4}sqrt{324 — AB^2 — AC^2 — BC^2}$
Так как треугольник ABC является равнобедренным (медианы, проведенные к боковым сторонам, равны), то мы можем обозначить сторону AB и BC как x, а сторону AC как 2y. Тогда:
$S = frac{1}{4}sqrt{324 — 2x^2 — 4y^2}$
$S = frac{1}{4}sqrt{324 — 2(x^2 + 2y^2)}$
$S = frac{1}{4}sqrt{324 — 2(AB^2 + AC^2)}$
Так как площадь треугольника можно выразить через любые две стороны и угол между ними, то мы можем использовать формулу для нахождения площади треугольника через медиану и угол между медианой и соответствующей стороной:
$S = frac{1}{2}m_acdot h_a$
Где $m_a$ — медиана, проведенная к стороне a, $h_a$ — высота, опущенная на сторону a.
Подставляя известные значения, получаем:
$S = frac{1}{2}cdot9cdot h_a$
$S = 4.5h_a$
Подставляя значение площади, полученное ранее, получаем:
$4.5h_a = frac{1}{4}sqrt{324 — 2(x^2 + 2y^2)}$
$h_a = frac{1}{18}sqrt{324 — 2(x^2 + 2y^2)}$
Так как медианы делят треугольник на 6 равных треугольников, то мы можем выразить площадь треугольника через длину медианы AD:
$S = frac{1}{6}cdotfrac{1}{2}ADcdot BC$
$S = frac{1}{12}ADcdot BC$
Подставляя известные значения, получаем:
$frac{1}{12}ADcdot BC = frac{1}{4}sqrt{324 — 2(x^2 + 2y^2)}$
$ADcdot BC = frac{3}{2}sqrt{324 — 2(x^2 + 2y^2)}$
Так как треугольник ABC является равнобедренным, то мы можем выразить сторону BC через сторону AB:
$BC = 2sqrt{AB^2 — frac{1}{4}BC^2}$
$BC^2 = 4AB^2 — 4y^2$
$BC = 2sqrt{AB^2 — y^2}$
Подставляя значение BC, получаем:
$ADcdot2sqrt{AB^2 — y^2} = frac{3}{2}sqrt{324 — 2(x^2 + 2y^2)}$
$AD^2cdot4(AB^2 — y^2) = frac{9}{4}(324 — 2(x^2 + 2y^2))$
$AD^2 = frac{9}{16}cdotfrac{324 — 2(x^2 + 2y^2)}{4(AB^2 — y^2)}$
$AD^2 = frac{9}{32}cdotfrac{162 — (x^2 + 2y^2)}{AB^2 — y^2}$
$AD^2 = frac{9}{32}cdotfrac{162 — (x^2 + 2y^2)}{x^2 — y^2}$
$AD = sqrt{frac{9}{32}cdotfrac{162 — (x^2 + 2y^2)}{x^2 — y^2}}$
$AD = frac{3}{4}sqrt{frac{162 — (x^2 + 2y^2)}{x^2 — y^2}}$
Таким образом, мы получили формулу для нахождения длины третьей медианы AD через длины двух других медиан и стороны треугольника.
