Вопрос школьника
Пусть точки М и N — соответственно середины диагоналей АС и ВО трапеции АВСБ (ВС || АБ). Используя задачу 566, докажите, что МЫ || АБ.
Ответ от учителя
Задача 566 гласит: «В трапеции АВСБ (ВС || АБ) точка М — середина боковой стороны АС. Отрезок МН проведен параллельно основаниям трапеции и пересекает боковые стороны АВ и СВ в точках К и L соответственно. Докажите, что МК = NL.»
Доказательство:
1. По условию задачи 566, М — середина боковой стороны АС трапеции АВСБ. Значит, М — также середина отрезка АС.
2. Так как ВС || АБ, то углы АВС и ВСА равны (по теореме о параллельных прямых и углах). Значит, треугольники АВС и ВСА подобны.
3. Из подобия треугольников АВС и ВСА следует, что отрезки АМ и ВН имеют одинаковое отношение к основаниям трапеции АВ и СВ: АМ/АВ = ВН/СВ.
4. Так как М и Н — середины диагоналей АС и ВО, то АМ = МС и ВН = НО.
5. Из пункта 4 следует, что АМ/АВ = МС/АВ и ВН/СВ = НО/СВ.
6. Из пункта 5 и подобия треугольников АВС и ВСА следует, что МС/АВ = НО/СВ.
7. Из пункта 3 и пункта 6 следует, что АМ/АВ = ВН/СВ = МС/АВ = НО/СВ.
8. Значит, МС = НО.
9. Так как М и Н — середины диагоналей АС и ВО, то МН || АО (по теореме о серединах).
10. Также, МН || ВС (по условию задачи 566).
11. Значит, МН параллельна основаниям трапеции АВ и СВ.
12. Из пункта 9 и пункта 11 следует, что МЫ || АБ (по теореме о параллельных прямых и углах).
Таким образом, мы доказали, что МЫ || АБ, используя задачу 566.
