Вопрос школьника
Биссектриса прямого угла трапеции пересекает боковую сторону в ее середине. Докажите, что меньшая боковая сторона равна сумме оснований.
Ответ от учителя
Пусть дана трапеция ABCD, где AB || CD, AD ⊥ AB, BC ⊥ AB, и точка E — середина боковой стороны CD. Пусть биссектриса угла BCD пересекает боковую сторону CD в точке F.
Так как угол BCD — прямой, то угол BCF = угол DCF = 90/2 = 45 градусов (так как биссектриса делит угол на две равные части). Также угол BFC = 180 — угол BCD = 180 — 90 = 90 градусов.
Таким образом, треугольник BFC — прямоугольный и равнобедренный (BF = CF), а значит, угол BFC = 45 градусов.
Также заметим, что треугольник ADF — прямоугольный, так как AD ⊥ AB. Таким образом, угол ADF = 90 градусов.
Так как угол BCF = угол ADF = 45 градусов, то треугольники BCF и ADF подобны. Таким образом, мы можем записать следующее соотношение:
BC/AD = BF/DF
Так как BF = CF, то мы можем переписать это соотношение в следующем виде:
BC/AD = CF/DF
Так как точка E — середина боковой стороны CD, то мы можем записать следующее:
CF/DF = CE/DE = (AB + CD)/2AD
Таким образом, мы получаем следующее:
BC/AD = (AB + CD)/2AD
Умножим обе части на 2AD:
2BC = AB + CD
Таким образом, мы доказали, что меньшая боковая сторона (BC) равна сумме оснований (AB + CD).
