Вопрос школьника
Докажите, что высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному
Ответ от учителя
Для доказательства этого утверждения нам нужно вспомнить определение подобных треугольников. Два треугольника считаются подобными, если они имеют одинаковые углы и соответствующие стороны пропорциональны.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол C прямой. Пусть CD — высота, опущенная из вершины C на гипотенузу AB.
Так как угол C прямой, то угол ACD и угол BCD являются прямыми углами. Также угол ACD и угол ABC являются соответственными углами при равных сторонах AC и BC, следовательно, они равны. Аналогично, угол BCD и угол BAC равны.
Таким образом, мы получили, что треугольники ACD и ABC имеют два равных угла, следовательно, они подобны. Также мы знаем, что сторона AC является общей для этих треугольников. Осталось доказать, что сторона CD пропорциональна стороне BC.
Для этого рассмотрим прямоугольные треугольники ACD и CBD. Они имеют равные углы ACD и BCD, а также прямой угол в вершинах D и C. Следовательно, они подобны. Также мы знаем, что сторона AC является общей для этих треугольников. Осталось доказать, что сторона CD пропорциональна стороне BC.
Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для треугольников ACD и CBD:
AC^2 = AD^2 + CD^2
BC^2 = BD^2 + CD^2
Вычтем второе уравнение из первого:
AC^2 — BC^2 = AD^2 — BD^2
Заметим, что AD = BD, так как это катеты прямоугольных треугольников ACD и CBD. Таким образом, получаем:
AC^2 — BC^2 = 0
Отсюда следует, что AC = BC, так как обе стороны положительны. Таким образом, мы доказали, что высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
