Вопрос школьника
Стороны параллелограмма равны 6 и 10, а одна из диагоналей равна 8. Найдите угол между этой диагональю и меньшей стороной параллелограмма.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится знание теоремы косинусов, которая гласит:
В любом треугольнике со сторонами a, b и c и углом α, противолежащим стороне a, справедлива формула:
a^2 = b^2 + c^2 — 2bc*cos(α)
Применим эту теорему к параллелограмму. Обозначим стороны параллелограмма через a = 6 и b = 10, а диагональ через c = 8. Пусть угол между диагональю и меньшей стороной параллелограмма равен α.
Так как параллелограмм имеет две пары параллельных сторон, то его диагонали делятся пополам. Значит, другая диагональ тоже равна 8. Обозначим ее через d.
Теперь мы можем применить теорему косинусов к треугольнику, образованному сторонами a, d и c:
a^2 = d^2 + c^2 — 2dc*cos(α)
Подставляем известные значения:
6^2 = 8^2 + 10^2 — 2*8*10*cos(α)
36 = 164 — 160*cos(α)
160*cos(α) = 128
cos(α) = 128/160 = 0.8
Теперь найдем сам угол α, используя обратную функцию косинуса:
α = arccos(0.8) ≈ 36.87°
Ответ: угол между диагональю и меньшей стороной параллелограмма равен примерно 36.87°.
