Вопрос школьника
Вершины треугольника делят описанную окружность в отношении 2:3:7. Наименьшая сторона треугольника равна 12 см. Найдите радиус окружности.
Ответ от учителя
Пусть радиус описанной окружности равен R, а длины сторон треугольника равны a, b и c соответственно. Тогда по теореме о синусах:
a/2R = 2/12 = 1/6
b/2R = 3/12 = 1/4
c/2R = 7/12
Выразим R из первого уравнения:
R = a/(2/6) = 3a
Подставим это выражение во второе и третье уравнения:
b/6a = 1/4
c/6a = 7/12
Отсюда получаем:
b = 3a/2
c = 7a/2
Таким образом, стороны треугольника равны 12 см, 18 см и 42 см. По формуле для площади треугольника через радиус описанной окружности:
S = abc/(4R) = (12*18*42)/(4*3a) = 9a^2
С другой стороны, площадь треугольника можно выразить через полупериметр p:
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))
где p = (a+b+c)/2. Подставляем значения сторон и получаем:
S = sqrt(36*24*6*30) = 72sqrt(15)
Сравнивая два выражения для площади, получаем:
9a^2 = 72sqrt(15)
a^2 = 8sqrt(15)
Таким образом, a = sqrt(8sqrt(15)) = 2sqrt(2sqrt(15)) см.
Из первого уравнения получаем:
R = 3a = 6sqrt(2sqrt(15)) см.
