Вопрос школьника
Продолжения боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD пересекаются в точке М, АВ= 10 см, ВМ=6см, СМ = 9 см. Найдите сторону CD трапеции
Ответ от учителя
Для решения данной задачи можно воспользоваться свойством трапеции, согласно которому сумма длин оснований трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту трапеции. Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:
AB + CD = 2 * (BM + CM) * h / 2
где h — высота трапеции, BM и CM — отрезки, на которые точка М делит боковые стороны трапеции.
Из условия задачи известны значения AB, BM и CM:
AB = 10 см
BM = 6 см
CM = 9 см
Осталось найти высоту трапеции h и сторону CD. Для этого можно воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника BМС:
BC^2 = BM^2 + CM^2
BC^2 = 6^2 + 9^2 = 81 + 36 = 117
BC = √117 ≈ 10,82 см
Теперь мы можем найти высоту трапеции h, используя формулу для площади трапеции:
S = (AB + CD) * h / 2
h = 2S / (AB + CD)
S = (AB + CD) * h / 2
S = (10 + CD) * h / 2
h = 2S / (10 + CD)
Так как мы знаем, что треугольник BМС прямоугольный, то его площадь можно найти по формуле:
S = BM * CM / 2
S = 6 * 9 / 2 = 27 см^2
Подставляем значение площади в формулу для высоты:
h = 2S / (10 + CD)
h = 2 * 27 / (10 + CD)
h = 54 / (10 + CD)
Теперь мы можем подставить найденные значения в уравнение для трапеции:
AB + CD = 2 * (BM + CM) * h / 2
10 + CD = 2 * (6 + 9) * (54 / (10 + CD)) / 2
10 + CD = 15 * 54 / (10 + CD)
(10 + CD)^2 = 15 * 54
CD^2 + 20CD + 100 = 810
CD^2 + 20CD — 710 = 0
Решаем квадратное уравнение:
CD = (-20 ± √(20^2 + 4 * 710)) / 2
CD = (-20 ± √(400 + 2840)) / 2
CD = (-20 ± √3240) / 2
CD = (-20 ± 18√10) / 2
Так как сторона трапеции не может быть отрицательной, то выбираем положительное значение:
CD = (-20 + 18√10) / 2 ≈ 4,08 см
Ответ: сторона CD трапеции ABCD ≈ 4,08 см.
