Вопрос школьника
При пересечении биссектрис углов трапеции образовался выпуклый четырехугольник. Докажите, что около него можно описать окружность.
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим определение биссектрисы угла. Биссектрисой угла называется луч, который делит данный угол на два равных угла.
Таким образом, если мы пересекаем биссектрисы углов трапеции, то получаем четыре равных угла.
Далее, рассмотрим свойство выпуклого четырехугольника, которое гласит: «Если в выпуклом четырехугольнике все четыре угла равны, то он описывается окружностью».
Таким образом, если мы докажем, что у нас получился выпуклый четырехугольник с равными углами, то мы сможем заключить, что около него можно описать окружность.
Для доказательства равенства углов в нашем четырехугольнике, рассмотрим следующую картинку:
Здесь мы видим, что углы ABD и BCD являются смежными и дополнительными, так как их сумма равна 180 градусов. Аналогично, углы ABC и ADC являются смежными и дополнительными.
Таким образом, мы можем заключить, что углы ABD, BCD, ABC и ADC равны между собой, так как они являются дополнительными к одному и тому же углу.
Следовательно, наш выпуклый четырехугольник имеет равные углы, и мы можем заключить, что около него можно описать окружность.
