Вопрос школьника
К, Р, Т. Н — середини сторін чотирикутника, діагоналі
якого дорівнюють 45 дм і 32 дм. Знайдіть периметр чотирикутника
КРТН.
Ответ от учителя
Для розв’язання цієї задачі нам потрібно знайти довжини сторін чотирикутника КРТН.
Спочатку знайдемо довжину однієї з діагоналей чотирикутника. За теоремою Піфагора, якщо ми знаємо довжини двох взаємно перпендикулярних сторін, то можемо знайти довжину гіпотенузи. Таким чином, застосовуючи теорему Піфагора до трикутника КНД, отримуємо:
$KN^2 + ND^2 = KD^2$
Оскільки КН = НР = РД = ДК (оскільки Н — середина сторони КР, Р — середина сторони РТ, Т — середина сторони НК, а КД і РН — діагоналі чотирикутника), то ми можемо записати:
$4KN^2 = KD^2$
Аналогічно, застосовуючи теорему Піфагора до трикутника КМТ, отримуємо:
$KM^2 + MT^2 = KT^2$
Оскільки КМ = МТ = ТН = НК (оскільки Н — середина сторони КР, Р — середина сторони РТ, Т — середина сторони НК, а КТ і МН — діагоналі чотирикутника), то ми можемо записати:
$4KM^2 = KT^2$
Тепер ми можемо знайти довжину діагоналі КР:
$KR^2 = KN^2 + NR^2 = 2KN^2$
$KR = sqrt{2}KN$
Аналогічно, знаходимо довжину діагоналі ТН:
$TN^2 = TM^2 + MN^2 = 2KM^2$
$TN = sqrt{2}KM$
Тепер ми можемо знайти довжини сторін чотирикутника КРТН:
$KN = frac{KD}{2sqrt{2}} = frac{45}{2sqrt{2}}$
$KM = frac{KT}{2sqrt{2}} = frac{32}{2sqrt{2}}$
$KR = sqrt{2}KN = frac{45sqrt{2}}{2}$
$TN = sqrt{2}KM = frac{32sqrt{2}}{2}$
Тепер можемо знайти периметр чотирикутника КРТН:
$P = KR + RT + TN + NK = frac{45sqrt{2}}{2} + 2KM + frac{32sqrt{2}}{2} + 2KN = 23sqrt{2} + frac{77}{sqrt{2}} approx 97.5$ дм.
Отже, периметр чотирикутника КРТН дорівнює близько 97.5 дм.
