Вопрос школьника
Докажите, что четырёхугольник ABCD, вершины которого имеют координаты А (3; 2), В (0; 5), С (-3; 2), D (0; -1), является квадратом.
Ответ от учителя
Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является квадратом, необходимо проверить выполнение следующих условий:
1. Все стороны равны между собой.
2. Углы между соседними сторонами равны 90 градусов.
3. Диагонали равны между собой и пересекаются в точке, делящей каждую диагональ пополам.
Для начала найдём длины сторон четырёхугольника ABCD:
AB = √((0-3)² + (5-2)²) = √34
BC = √((-3-0)² + (2-5)²) = √34
CD = √((0+3)² + (-1-2)²) = √34
DA = √((3-0)² + (2+1)²) = √34
Как видно, все стороны равны между собой, поэтому первое условие выполнено.
Теперь найдём углы между соседними сторонами. Например, угол между сторонами AB и BC можно найти с помощью формулы косинусов:
cos(∠ABC) = (AB² + BC² — AC²) / (2 * AB * BC)
cos(∠ABC) = (34 + 34 — 34) / (2 * √34 * √34) = 0
∠ABC = arccos(0) = 90 градусов
Аналогично можно найти углы между другими соседними сторонами. Таким образом, второе условие также выполнено.
Наконец, найдём диагонали четырёхугольника. Диагональ AC имеет длину:
AC = √((3+3)² + (2-2)²) = 6
Диагональ BD имеет длину:
BD = √((0+0)² + (5+1)²) = √52
Как видно, диагонали не равны между собой, поэтому третье условие не выполнено.
Таким образом, четырёхугольник ABCD не является квадратом, так как не выполняется третье условие.
