Вопрос школьника
Длина большей диагонали правильного шестиугольника равна 6. Найдите:
а) длину его меньшей диагонали; б) площадь шестиугольника.
Ответ от учителя
Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников, у которых все углы равны 60 градусам. Большая диагональ проходит через центр шестиугольника и соединяет противоположные вершины. Таким образом, ее длина равна удвоенной длине радиуса описанной окружности, в которую вписан шестиугольник.
Из геометрии правильных многоугольников известно, что радиус описанной окружности равен половине длины большей диагонали, то есть 3. Следовательно, меньшая диагональ проходит через центр шестиугольника и соединяет две соседние вершины. Она равна удвоенной длине радиуса вписанной окружности, которая, в свою очередь, равна половине длины меньшей диагонали. Таким образом, длина меньшей диагонали равна 3/√3 = √3.
Чтобы найти площадь правильного шестиугольника, можно разбить его на шесть равносторонних треугольников и сложить их площади. Площадь одного треугольника равна (a^2√3)/4, где a — длина стороны. Так как сторона равностороннего треугольника равна радиусу описанной окружности, то a = 3. Поэтому площадь одного треугольника равна (3^2√3)/4 = (9√3)/4. Следовательно, площадь шестиугольника равна 6*(9√3)/4 = (27√3)/2. Ответ: а) √3; б) (27√3)/2.
