Вопрос школьника
Вычислите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С, если угол CBA = 30° и АС = 9 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся теоремой описанной окружности прямоугольного треугольника, которая гласит: радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.
Из условия задачи известно, что угол CBA = 30° и АС = 9 см. Так как треугольник ABC прямоугольный, то угол CAB = 90°. Тогда угол ACB = 180° — 90° — 30° = 60°.
По теореме синусов в треугольнике ABC:
sin CAB / AC = sin ACB / BC
sin 90° / 9 = sin 60° / BC
1 / 9 = √3 / 2BC
BC = 9√3 / 2
Так как BC — это гипотенуза треугольника ABC, то радиус описанной окружности равен половине гипотенузы:
R = BC / 2 = 9√3 / 4
Ответ: радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С, равен 9√3 / 4 см.
