Вопрос школьника
У трикутнику ABC відомо, що АВ = ВС, ∟A = 60°, кут BCD суміжний iз кутом АСВ, СМ — бісектриса кута BCD.
Доведіть, що АВ ‖ СМ
Ответ от учителя
Для доведення того, что АВ ‖ СМ, необхідно показати, що кути між цими прямими дорівнюють один одному.
Оскільки АВ = ВС, то трикутник ABC є рівнобедреним, тобто АС = ВС.
Також, оскільки ∟A = 60°, то ∟B = ∟C = 60° (оскільки трикутник ABC є рівнобедреним).
За умовою, кут BCD суміжний з кутом АСВ, тобто вони доповнюють один одного до 180°. Таким чином, ∟BCD = 180° — ∟ASV.
Оскільки СМ — бісектриса кута BCD, то ∟BCM = ∟MCD.
Розглянемо трикутник BCM. Оскільки ∟B = 60° і ∟BCM = ∟MCD, то ∟MCB = 180° — 60° — ∟MCD = 120° — ∟MCD.
Розглянемо трикутник ASV. Оскільки ∟A = 60° і ∟ASV = ∟BCD, то ∟AVS = 180° — 60° — ∟BCD = 120° — ∟BCD.
Оскільки СМ — бісектриса кута BCD, то ∟BCM = ∟MCD, тобто ∟BCD = 2∟MCD.
Таким чином, ∟AVS = 120° — 2∟MCD.
Зведемо отримані вирази для ∟MCB та ∟AVS до спільного знаменника:
∟MCB = 120° — ∟MCD
∟AVS = 120° — 2∟MCD
Оскільки ∟MCB + ∟AVS = 240° — 3∟MCD, то ∟MCD = (240° — ∟MCB — ∟AVS) / 3.
Підставимо це значення в вираз для ∟AVS:
∟AVS = 120° — 2((240° — ∟MCB — ∟AVS) / 3)
∟AVS = 120° — (480° — 2∟MCB — 2∟AVS) / 3
3∟AVS = 360° — 480° + 2∟MCB + 2∟AVS
∟AVS = 60° + (2∟MCB — 2∟AVS) / 3
3∟AVS = 180° + 2∟MCB — 2∟AVS
5∟AVS = 180° + 2∟MCB
∟AVS = (180° + 2∟MCB) / 5
Підставимо це значення в вираз для ∟MCB:
∟MCB = 120° — ∟MCD
∟MCB = 120° — (240° — ∟MCB — ∟AVS) / 3
3∟MCB = 360° — 240° + ∟MCB + ∟AVS
2∟MCB = 120° + ∟AVS
2∟MCB = 120° + (180° + 2∟MCB) / 5
10∟MCB = 600° + 180° + 4∟MCB
6∟MCB = 780°
∟MCB = 130°
Отже, ∟MCB = 130° і ∟AVS = 50°.
Оскільки АС = ВС, то трикутник АСМ є рівнобедреним, тобто ∟ASM = ∟MSС.
За умовою, ∟A = 60°, тому ∟ASM = 60°.
Таким чином, ∟MSС = 50°.
Отже, кути між прямими АВ та СМ дорівнюють один одному, тобто АВ ‖ СМ.
