Вопрос школьника
Докажите, что если в равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, то ее средняя линия равна высоте трапеции
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим определение равнобедренной трапеции. Это четырехугольник, у которого две стороны параллельны и равны друг другу, а две другие стороны также равны, но не параллельны. Обозначим эти стороны как a и b, а высоту трапеции как h.
Также, обозначим диагонали трапеции как d1 и d2. По условию задачи, эти диагонали взаимно перпендикулярны, то есть образуют прямой угол. Это значит, что мы можем разбить трапецию на четыре прямоугольных треугольника, каждый из которых имеет гипотенузу равную одной из диагоналей.
Теперь рассмотрим среднюю линию трапеции. Это отрезок, соединяющий середины двух параллельных сторон. Обозначим этот отрезок как m.
Заметим, что средняя линия трапеции делит ее на две равные части. То есть, площадь верхней части трапеции равна площади нижней части. Мы можем выразить эти площади через стороны трапеции и высоту:
S1 = (a + m) * h / 2
S2 = (b + m) * h / 2
Также, мы знаем, что диагонали взаимно перпендикулярны. Это значит, что мы можем выразить их через стороны трапеции и угол между ними:
d1 = sqrt(a^2 + h^2)
d2 = sqrt(b^2 + h^2)
Теперь мы можем использовать эти выражения, чтобы доказать, что средняя линия трапеции равна ее высоте. Для этого, мы должны показать, что S1 = S2:
(a + m) * h / 2 = (b + m) * h / 2
a * h / 2 + m * h / 2 = b * h / 2 + m * h / 2
a * h = b * h
a = b
Мы получили, что стороны трапеции равны друг другу. Это значит, что трапеция является прямоугольником, и ее высота равна одной из диагоналей. Также, мы знаем, что средняя линия трапеции равна полусумме ее параллельных сторон. В прямоугольнике эти стороны равны, поэтому средняя линия равна половине стороны, то есть высоте трапеции.
Таким образом, мы доказали, что если в равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, то ее средняя линия равна высоте трапеции.
