Вопрос школьника
Окружность с центром в точке М(-5; 3) касается оси ординат. Найдите координаты точек пересечения окружности с осью абсцисс
Ответ от учителя
Так как окружность касается оси ординат, то ее центр должен находиться на расстоянии радиуса от оси ординат. Радиус окружности равен расстоянию от центра до любой точки на окружности, то есть до точки пересечения окружности с осью абсцисс.
Пусть точка пересечения окружности с осью абсцисс имеет координаты (x, 0). Тогда расстояние от центра М(-5; 3) до этой точки равно радиусу окружности.
Используя формулу расстояния между двумя точками на плоскости, получаем:
√[(x + 5)² + 3²] = r
где r — радиус окружности.
Так как окружность касается оси ординат, то ее центр должен находиться на расстоянии радиуса от оси ординат, то есть от точки (0, 0). То есть расстояние от центра М(-5; 3) до оси ординат равно r.
Используя формулу расстояния от точки до прямой на плоскости, получаем:
|r| = |(-5) — 0 * 3| / √(1² + 0²) = 5
Таким образом, мы получили систему уравнений:
√[(x + 5)² + 3²] = r
|r| = 5
Подставляя значение r из второго уравнения в первое, получаем:
√[(x + 5)² + 3²] = 5
Квадратируя обе части уравнения, получаем:
(x + 5)² + 3² = 25
Раскрывая скобки и упрощая, получаем:
x² + 10x + 16 = 0
Решая квадратное уравнение, получаем два корня:
x₁ = -8
x₂ = -2
Таким образом, точки пересечения окружности с осью абсцисс имеют координаты (-8, 0) и (-2, 0).
