Вопрос школьника
Точка B — середина отрезка AD, точка C — середина отрезка BD. Найдите координаты точек A и D, если B (–2; 1) и C (–5; –3).
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно воспользоваться свойствами серединных перпендикуляров.
Согласно этим свойствам, середина отрезка AB лежит на перпендикуляре к AB, проходящем через середину AB. Аналогично, середина отрезка BC лежит на перпендикуляре к BC, проходящем через середину BC.
Таким образом, мы можем построить перпендикуляры к AB и BC, проходящие через точки B и C соответственно. Пересечение этих перпендикуляров даст нам точку D, а пересечение перпендикуляра к AD, проходящего через B, с прямой BC даст нам точку A.
Для начала найдем координаты точки D. Перпендикуляр к AB, проходящий через B, будет иметь уравнение x = -2, так как он проходит через точку с координатой x = -2. Перпендикуляр к BC, проходящий через C, будет иметь уравнение y = -3, так как он проходит через точку с координатой y = -3. Найдем точку пересечения этих перпендикуляров:
x = -2, y = -3
Таким образом, координаты точки D равны (-2, -3).
Теперь найдем координаты точки A. Перпендикуляр к AD, проходящий через B, будет иметь уравнение, проходящее через точки B и D:
(y — 1)/(x + 2) = (-3 — 1)/(-2 + 2) = -1
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
y — 1 = -x — 2
y = -x — 1
Таким образом, перпендикуляр к AD, проходящий через B, имеет уравнение y = -x — 1. Пересечение этого перпендикуляра с прямой BC даст нам координаты точки A.
Прямая BC проходит через точки B и C, поэтому ее уравнение можно найти по формуле:
(y — 1)/(-2 — x) = (-3 — 1)/(-5 — (-2)) = -4/-3
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
y — 1 = (4/3)(x + 2)
y = (4/3)x + 10/3
Таким образом, уравнение прямой BC имеет вид y = (4/3)x + 10/3.
Найдем координаты точки A, пересекая перпендикуляр к AD, проходящий через B, с прямой BC:
y = -x — 1
y = (4/3)x + 10/3
-x — 1 = (4/3)x + 10/3
Решая это уравнение относительно x, получаем:
x = -9/7
Подставляя найденное значение x в уравнение прямой BC, находим y:
y = (4/3)(-9/7) + 10/3 = 2/7
Таким образом, координаты точки A равны (-9/7, 2/7).
Итак, мы нашли координаты точек A и D:
A: (-9/7, 2/7)
D: (-2, -3)
