Вопрос школьника
В треугольнике ABC проведена биссектриса BK. Сумма расстояний от точки K до прямых BA и BC равна 19 см, ∠ C = 30°. Найдите KC.
Ответ от учителя
Пусть $BK=x$, $AB=y$, $BC=z$. Тогда, по свойствам биссектрисы, $frac{x}{y}=frac{z}{x+z}$, откуда $x^2=xz$, то есть $x=zcosangle BKC$. Также из условия задачи имеем $BKcdottanangle BKC=19$. Заметим, что $tanangle BKC=tanfrac{angle BAC}{2}=frac{y}{x}$, поэтому $BKcdotfrac{y}{x}=19$. Из этих двух уравнений получаем $x^2=frac{19^2}{y}cdot zcosangle BKC$. Так как $cosangle BKC=frac{x}{z}$, то $x^3=frac{19^2}{y}cdot x$, откуда $x=frac{19^2}{y}$. Теперь из теоремы синусов в треугольнике $BKC$ имеем $frac{KC}{sinangle BKC}=2x$, то есть $KC=frac{38x}{sqrt{1+cosangle BKC}}=frac{38cdot 19^2}{ysqrt{1+frac{y}{z}}}=frac{38cdot 19^2}{ysqrt{1+frac{y}{2x}}}=frac{38cdot 19^2}{ysqrt{1+frac{y^2}{2cdot 19^2}}}=frac{38cdot 19}{sqrt{3}}$. Ответ: $KC=frac{38cdot 19}{sqrt{3}}$.
