Вопрос школьника
В треугольнике ABC длина биссектрисы BF равна 3√2/2 см. Вычислите длины сторон АВ и АС, если ВС = 2 см и CF = 1 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся формулой для длины биссектрисы треугольника:
BF = (2ABAC)/(AB+AC)
Заметим, что треугольник ABC является прямоугольным, так как угол BAC равен 90 градусов (по условию не сказано обратное). Тогда по теореме Пифагора имеем:
AB^2 + AC^2 = BC^2
Воспользуемся теперь формулой для вычисления площади треугольника через длины сторон и радиус вписанной окружности:
S = p*r
где p — полупериметр треугольника, r — радиус вписанной окружности. Заметим, что площадь треугольника ABC можно выразить через длину биссектрисы BF:
S = (1/2)*AB*AC*sin(BAC) = (1/2)*BF*(AB+AC)
Теперь можем составить систему уравнений:
BF = (2ABAC)/(AB+AC)
AB^2 + AC^2 = BC^2
S = (1/2)*BF*(AB+AC) = p*r
Подставим известные значения:
BF = 3√2/2
BC = 2
CF = 1
Из третьего уравнения получаем радиус вписанной окружности:
r = S/p = (1/2)*BF*(AB+AC)/p
Осталось решить систему уравнений. Для этого можно воспользоваться методом подстановки. Например, из первого уравнения можно выразить AC через AB и BF:
AC = (2BFAB)/(2BF-AB)
Подставляем это выражение во второе уравнение:
AB^2 + ((2BFAB)/(2BF-AB))^2 = 2^2
Решаем это уравнение относительно AB:
AB = (4BF^2)/(4BF-2√2)
Теперь можем вычислить AC:
AC = (2BFAB)/(2BF-AB) = (2BF*(4BF^2)/(4BF-2√2))/((2BF-4BF^2)/(4BF-2√2)) = (8BF^3)/(2√2-2BF)
Осталось вычислить радиус вписанной окружности и длины сторон AB и AC:
r = S/p = (1/2)*BF*(AB+AC)/p = (3√2/2)*((4BF^2)/(4BF-2√2)+(8BF^3)/(2√2-2BF))/(2+2BF+2√2BF)
AB = (4BF^2)/(4BF-2√2) = (4*(3√2/2)^2)/(4*(3√2/2)-2√2) = 3√2
AC = (8BF^3)/(2√2-2BF) = (8*(3√2/2)^3)/(2√2-2*(3√2/2)) = 6
Итак, получаем ответ: AB = 3√2 см, AC = 6 см.
