Вопрос школьника
Диаметр AA₁ окружности перпендикулярен к хорде BB₁. Докажите, что градусные меры дуг AB и AB₁, меньших 180°, равны.
Ответ от учителя
Пусть точки A, B и B₁ лежат на окружности с центром O и радиусом r. Также пусть точка A₁ лежит на перпендикуляре к хорде BB₁, проходящем через O, и расстояние OA₁ равно r.
Так как OA₁ является радиусом окружности, то треугольник OAB₁ является прямоугольным, и мы можем применить теорему Пифагора:
AB₁² = AO² + OB₁²
Также, так как BB₁ является хордой окружности, то угол AOB равен углу AB₁B. Таким образом, дуги AB и AB₁, меньшие 180°, соответствуют одному и тому же углу.
Теперь рассмотрим треугольник OAB. Так как OA и OB являются радиусами окружности, то треугольник OAB также является прямоугольным. Мы можем применить теорему Пифагора:
AB² = AO² + OB²
Так как AO² + OB² = AB₁² + OB₁², то AB² = AB₁² + OB₁². Таким образом, мы можем записать:
AB² — AB₁² = OB₁²
AB₁² — AB² = OB₁²
Так как AB и AB₁ соответствуют одному и тому же углу, то дуги AB и AB₁, меньшие 180°, равны. Таким образом, мы можем записать:
AB = r * α
AB₁ = r * α
где α — градусная мера угла AOB и угла AB₁B.
Таким образом, мы доказали, что градусные меры дуг AB и AB₁, меньших 180°, равны.
