Вопрос школьника
Адрэзак разбівае квадрат на два трохвугольнікі. На колькі перыметр квадрата меншы за суму перыметраў трохвугольнікаў?
Ответ от учителя
Для решения этой задачи нам нужно знать формулы для нахождения периметра квадрата и треугольника.
Периметр квадрата равен удвоенной сумме длин его сторон:
Pквадрата = 2a + 2a = 4a,
где a — длина стороны квадрата.
Периметр треугольника равен сумме длин его сторон:
Pтреугольника = a + b + c,
где a, b, c — длины сторон треугольника.
Поскольку квадрат разбивается на два треугольника, то сумма их периметров будет равна:
Pтрохвугольников = Pтреугольника1 + Pтреугольника2.
Для нахождения периметра треугольника нам нужно знать длины его сторон. Разбивая квадрат на два треугольника, мы получаем два прямоугольных треугольника со сторонами a, a/2 и гипотенузой √(a² + (a/2)²). По теореме Пифагора:
√(a² + (a/2)²) = √(5a²/4) = a√5/2.
Таким образом, длины сторон треугольников будут:
a, a/2, a√5/2 и a, a√5/2, a/2.
Подставляя эти значения в формулу для периметра треугольника, получаем:
Pтреугольника1 = a + a/2 + a√5/2 = (3 + √5)a/2,
Pтреугольника2 = a + a√5/2 + a/2 = (3 + √5)a/2.
Суммируя эти выражения, получаем:
Pтрохвугольников = (3 + √5)a.
Теперь мы можем записать неравенство, которое описывает условие задачи:
4a < (3 + √5)a + (3 + √5)a, 4a < 2(3 + √5)a, 2 < 3 + √5, √5 > 1.
Это неравенство всегда выполняется, так как корень из 5 больше единицы. Значит, периметр квадрата всегда будет меньше суммы периметров двух треугольников, на которые он разбивается. Ответ: на любое значение длины стороны квадрата периметр квадрата будет меньше суммы периметров двух треугольников.
