Вопрос школьника
Докажите, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его ребер с общей вершиной.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой Пифагора.
Пусть дан прямоугольный параллелепипед со сторонами a, b и c, а его диагональ имеет длину d.
Тогда по теореме Пифагора для треугольника, образованного диагональю и одним из ребер, имеем:
d^2 = a^2 + b^2
Аналогично, для треугольника, образованного диагональю и другим ребром, имеем:
d^2 = b^2 + c^2
Наконец, для треугольника, образованного диагональю и третьим ребром, имеем:
d^2 = a^2 + c^2
Теперь сложим все три уравнения:
d^2 + d^2 + d^2 = a^2 + b^2 + b^2 + c^2 + a^2 + c^2
3d^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2)
d^2 = (a^2 + b^2 + c^2) * 2/3
Таким образом, мы доказали, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его ребер с общей вершиной, умноженной на 2/3.
