Вопрос школьника
Отрезки ВМ и СК — высоты остроугольного треугольника ABC, Z А = 45°. Найдите отношение площадей треугольников АМК и АВС.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится знание формулы для площади треугольника: S = 0.5 * a * b * sin(C), где a и b — стороны треугольника, C — угол между ними.
Из условия задачи мы знаем, что отрезки ВМ и СК являются высотами остроугольного треугольника ABC. Также дано, что угол Z А равен 45°. Это означает, что треугольник ABC является прямоугольным, а отрезки ВМ и СК являются катетами этого треугольника.
Пусть точка М лежит на стороне АВ, а точка К — на стороне АС. Тогда отрезки АМ и АК являются высотами треугольников АМК и АВС соответственно.
Чтобы найти отношение площадей треугольников АМК и АВС, нам нужно выразить их через стороны и углы треугольника ABC.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABC имеем:
AB² = AC² + BC²
Так как отрезки ВМ и СК являются высотами, то:
S(ABC) = 0.5 * AC * BC
S(ABC) = 0.5 * AB * BM
S(ABC) = 0.5 * AB * CK
Заметим, что треугольники АМК и АВС имеют общую высоту АА’, где А’ — точка пересечения высот треугольника ABC. Поэтому отношение их площадей равно отношению их оснований:
S(АМК) / S(АВС) = АК / АВ
Выразим АК и АВ через стороны и углы треугольника ABC:
AK = AC * sin(А)
AV = AB * sin(С)
Тогда отношение площадей треугольников АМК и АВС равно:
S(АМК) / S(АВС) = AC * sin(А) / AB * sin(С)
Заменим sin(А) и sin(С) через стороны и гипотенузу треугольника ABC:
S(АМК) / S(АВС) = AC * BC * BM / AB * AC * CK
S(АМК) / S(АВС) = BM / CK
Так как отрезки ВМ и СК являются катетами прямоугольного треугольника ABC, то:
BM / CK = BC / AB
Заменим BC и AB через гипотенузу и угол Z А:
BC = AC * tan(Z А)
AB = AC * cot(Z А)
Тогда:
BM / CK = BC / AB = tan(Z А) / cot(Z А) = tan²(Z А)
Итак, отношение площадей треугольников АМК и АВС равно квадрату тангенса угла Z А:
S(АМК) / S(АВС) = tan²(Z А) = 1
Ответ: отношение площадей треугольников АМК и АВС равно 1.
