Вопрос школьника
Точки A, B, C и D лежат на окружности с центром O, причем AB = CD. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB и CD.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что точка O равноудалена от прямых AB и CD, нужно показать, что расстояние от точки O до каждой из этих прямых одинаково.
Рассмотрим прямую AB. Пусть M — середина отрезка AB. Тогда OM — это радиус окружности, а значит, он перпендикулярен к AB. Также, поскольку AB = CD, то MC — это середина отрезка CD. Значит, OM также перпендикулярен к CD.
Таким образом, мы получили, что OM перпендикулярен и к AB, и к CD. Значит, он является высотой равнобедренной трапеции ABCD, проведенной из ее вершины O. Поскольку ABCD — равнобедренная трапеция, то ее диагонали AC и BD равны, и точка пересечения диагоналей является центром окружности, описанной вокруг ABCD. Значит, точка O лежит на этой окружности.
Теперь рассмотрим произвольную точку P на прямой AB. Тогда OP — это отрезок, соединяющий точки O и P. Поскольку OM перпендикулярен к AB, то OP и OM являются катетами прямоугольного треугольника OPM. Значит, по теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы OM равен сумме квадратов длин катетов OP и PM:
OM^2 = OP^2 + PM^2
Аналогично, для произвольной точки Q на прямой CD получаем:
OM^2 = OQ^2 + QM^2
Поскольку AB = CD, то PM = QM. Значит, из двух последних уравнений следует:
OP^2 + PM^2 = OQ^2 + QM^2
Или, что то же самое:
OP^2 — OQ^2 = QM^2 — PM^2
Но QM = PM, поэтому правая часть этого уравнения равна нулю. Значит, мы получили:
OP^2 — OQ^2 = 0
Или, что то же самое:
OP^2 = OQ^2
Таким образом, мы доказали, что для любой точки P на прямой AB расстояние от точки O до точки P равно расстоянию от точки O до точки Q, которая является соответствующей точкой на прямой CD. Значит, точка O равноудалена от прямых AB и CD.
