Вопрос школьника
У правильного треугольника радиус вписанной окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности. Докажите
Ответ от учителя
Для начала, вспомним, что радиус вписанной окружности в треугольник равен отношению полупериметра треугольника к его площади:
$r = frac{S}{p}$
где $r$ — радиус вписанной окружности, $S$ — площадь треугольника, $p$ — полупериметр треугольника.
Также, радиус описанной окружности равен отношению длины любой стороны треугольника к удвоенной разности длин оставшихся сторон:
$R = frac{abc}{4S}$
где $R$ — радиус описанной окружности, $a$, $b$, $c$ — длины сторон треугольника.
Для правильного треугольника все стороны равны, поэтому формула для радиуса описанной окружности упрощается до:
$R = frac{a}{2sqrt{3}}$
Теперь, согласно условию задачи, радиус вписанной окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности:
$r = frac{R}{2}$
Подставляя выражения для $r$ и $R$, получаем:
$frac{S}{p} = frac{a}{4sqrt{3}S}$
Упрощая выражение, получаем:
$S^2 = frac{a^2p^2}{48}$
Теперь вспомним, что для правильного треугольника $S = frac{a^2sqrt{3}}{4}$ и $p = frac{3a}{2}$. Подставляя эти значения, получаем:
$frac{3a^4sqrt{3}}{16} = frac{9a^4}{48}$
Упрощая выражение, получаем:
$a^2 = 4r^2$
Таким образом, мы доказали, что для правильного треугольника радиус вписанной окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности.
